Introdução ao cálculo algébrico 6ª/7ª sériespor Marcos Elias Picão | |
Introdução
A Álgebra nos ajuda em muitas coisas, com ela podemos generalizar situações. No estudo da álgebra usamos constantemente letras representando números: elas apenas representam, não quer dizer que são números. Poderíamos muito bem usar quadradinhos, palavras, um desenho qualquer. Mas é mais simples usar as letras, por diversos motivos: todo mundo as conhece, todos sabem escrevê-las, é fácil ler e podemos usar várias delas, sem precisar ficar criando mais e mais símbolos para representar números diferentes. É muito melhor usar letras, do que qualquer outro símbolo. Universalmente, são usadas na matemática. Uma que comumente representa um número desconhecido, uma incógnita, é a letra x. O “x” da questão! Como algumas vezes precisamos de mais números, usamos mais letras, como y, z, etc. Convenciona-se usar as últimas letras do alfabeto, mas você pode usar qualquer uma em seus cálculos e rascunhos.
Generalizando uma fórmula
Vamos calcular o perímetro do quadrado. Se você não sabe, perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Supomos um quadrado com 6 cm de lado:
Imagine que precisamos passar uma fita em volta de uma caixinha quadrada, de 6 cm de lado. Quantos cm de fita precisaremos? Isso depende da medida do lado da caixinha. Vejamos...
No exemplo, o lado do quadrado tem 6 cm. Para cobrirmos um lado, usaremos 6 cm de fita. Como o quadrado tem 4 lados, é claro que usaremos 4 vezes a quantidade necessária para preencher apenas um lado. Veja:
6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 × 6 = 24
Então usaremos 24 cm de fita (não consideramos aqui o que na prática ficaria sobreposto ou usado para colar a fita).
Geometricamente, dizemos que o perímetro desse quadrado é 24 cm.
E se o quadrado tivesse 15 cm de lado?
Seriam: 15 × 4 = 60
60 cm de fita.
É possível escrever uma fórmula, baseada no que se observou. O perímetro do quadrado é sempre 4 vezes a medida de um dos seus lados. Se o lado mede 1 unidade de medida, o perímetro vai ser 4 × 1 = 4. Se o lado mede 12, o perímetro mede 4 × 12 = 48, e assim por diante.
Vamos supor que não sabemos quanto mede o lado do quadrado. Vamos então indicar o lado pela letra l (l de “lado”, apenas como referência, mas poderia ser qualquer outra). Veja:
Mesmo sem saber quanto vale l, pode-se concluir que o perímetro é 4 × l:
l + l + l + l
Podemos escrever:
PQ = 4l
Onde PQ é o “perímetro do quadrado”, e l é a medida do lado. A expressão PQ = 4l é uma fórmula, no caso a fórmula do perímetro do quadrado: com ela podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado, substituindo a letra l pela medida do lado e fazendo os cálculos.
Como o uso de fórmulas e expressões com números e letras é freqüente na matemática, para facilitar não indicamos o sinal de multiplicação entre um número e uma letra:
PQ = 4l quer dizer PQ = 4 × l, ou seja, 4 vezes l. Leia da mesma forma, “quatro vezes éle” ou “quatro éle”
Sempre ao ver um número “encostado” numa letra indica que se trata de uma multiplicação, o sinal da multiplicação fica então subentendido, apenas para simplificação. Isso é usado na matemática, você verá em livros e no vestibular, testes, etc., mas se não quiser usar no seu dia-a-dia é claro que não precisa. Pode colocar o sinal de vezes, sem problemas.
Agora com a fórmula PQ = 4l podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado. Por exemplo, qual é o perímetro de um quadrado de lado com 17 m?
Veja:
PQ = 4l
PQ = 4 . lado
PQ = 4 . 17
PQ = 68
A fórmula PQ = 4l vale para qualquer quadrado. Por isso dizemos que a Álgebra trabalha com generalização. Claro que esta fórmula é simples, ela é aplicada de forma praticamente automática. Mas e para calcular o comprimento de circunferências, a altura de pirâmides, o volume de esferas? Deduzir e guardar as fórmulas prontas ajudam nessas tarefas, pois basta substituir as letras pelas medidas depois e calcular. Não são só medidas, claro, podemos generalizar funções específicas, como consumo de combustível, preço a pagar, etc. Estas, é claro, dependeriam de outros fatores.
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Na fórmula PQ = 4l, “l” pode variar dependendo da medida do comprimento do lado do quadrado. Por isso, nessa fórmula, dizemos que a letra “l” é uma variável. |
Generalizando outra fórmula
Agora vamos obter uma fórmula para calcular o perímetro de um retângulo. Observe:
O perímetro desse retângulo é obtido somando-se todos os lados:
5 + 12 + 5 + 12
Posso fazer 5 + 5 + 12 + 12, que dá a mesma coisa. Professor: se for o caso, comente brevemente a propriedade associativa da adição.
Você sabe que 5 + 5 = 2 . 5, e que 12 + 12 = 2 . 12. Portanto, podemos escrever também:
5 + 5 + 12 + 12 = 2 . 5 + 2 . 12
Como era uma adição e agrupamos as parcelas, devemos começar a conta pela multiplicação, veja que esta regra das expressões numéricas se justifica, senão seu cálculo sairia errado. Depois, somamos os resultados das multiplicações:
2 . 5 + 2 . 12 =
10 + 24 =
34
O perímetro do retângulo é 34.
Agora veja esse outro retângulo:
Sabemos que dois lados dele medem 3, mas não sabemos os valores dos outros lados. O perímetro é dado por:
3 + 3 + x + x
Ou então:
2 . 3 + 2 . x
Como 2 vezes 3 é 6, podemos já colocar:
PR = 6 + 2x
Nesse caso a expressão 6 + 2x indica o perímetro do retângulo em que os lados medem 3, 3, x e x. Se o lado de medida desconhecida medisse 5 unidades de medida, teríamos:
PR = 6 + 2x
PR = 6 + 2 . 5
PR = 6 + 10
PR = 16
Se o lado desconhecido medisse 1:
PR = 6 + 2x
PR = 6 + 2 . 1
PR = 6 + 2
PR = 8
Por que primeiro a multiplicação mesmo? Porque ela já estava lá. A multiplicação é a simplificação de uma soma, e como simplificamos a soma numa expressão mais simples, essa expressão deve ser concluída (calculada) e não deve ter seus termos misturados com outros, apenas o resultado final é que deverá ser trabalhado depois, no contexto em que se inserir. Veja o que aconteceria se não seguíssemos essa regra (em azul estão os cálculos feitos primeiro):
PR = 6 + 2x PR = 6 + 2 . 5 PR = 8 . 5 PR = 40 | PR = 6 + 2x PR = 6 + 2 . 5 PR = 6 . 10 PR = 16 |
Percebeu? O correto é 16, e não 40! Confira no retângulo, somando manualmente cada lado, considerando o x = 5. Professor: oriente a turma a respeitar as regras das expressões numéricas, calculando sempre em primeiro lugar as potências e raízes na ordem em que aparecerem, a seguir as multiplicações e divisões também na ordem em que aparecerem e, por fim, as adições e subtrações.
Algebrando ainda mais
E se não conhecêssemos as medidas de nenhum dos lados, daria para montar a expressão, a fórmula? Claro! Deixamos a expressão indicada, ou seja, sem calcular, normalmente da forma mais simples que pudermos. Imagine esse retângulo:
O retângulo tem dois pares de lados iguais. Ou seja, ele tem 4 lados, sendo que dois lados têm uma mesma medida, e os outros dois também. O perímetro do retângulo acima poderia ser indicado assim:
PR = a + a + b + b
PR = 2 . a + 2 + b
PR = 2a + 2b
Veja que 2a + 2b é uma forma bastante simplificada (curta de escrever). Você não pode fazer 2a + 2b = 4ab, afinal 2a é 2 . a, e 2b é 2 . b. Então 2 . a + 2 . b certamente não é 4 . a . b, o 2 não poderia ser somado.
Professor: dependendo do nível da turma, poder-se-ia comentar a propriedade distributiva da multiplicação, deixando a fórmula simplificada em 2a + 2b = 2(a + b). Isso não foi comentado no texto para evitar confundir os alunos, ainda mais neste início de aprendizado sobre álgebra. Certamente será visto mais para frente, de qualquer modo.
Próximos tópicos: operações simples com monômios e polinômios; adição e subtração de monômios e polinômios; simplificação de expressões; multiplicação de monômios e polinômios (estes últimos somente na 7ª série); divisão simples de monômios. A integração com a geometria é essencial para um aprendizado consistente sobre as regras.
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