Introdução às equações simples 6ª sériepor Marcos Elias Picão | |
Na vida, em diversas situações, precisamos descobrir o valor de um número desconhecido. Números dos mais diversos: valores em dinheiro, medidas, temperaturas, distâncias, quantidade de pessoas, etc.
A matemática ajuda muito neste caso, com sua organização e estrutura. Para isso, usamos as equações. Não é difícil. Vamos ver alguns casos.
Eu tenho R$ 15,00. Preciso comprar um presente que custa R$ 38,00. O que eu tenho não é suficiente para comprar esse presente. Preciso juntar mais dinheiro. Mas quanto? Preciso de mais quanto para comprar esse presente?
Vamos fazer um esquema:
Talvez você faça o cálculo assim: 38 - 15 = o que falta. Mas vamos esclarecer um jeito de fazer um rascunho talvez não “mais simples”, mas mais “compreensível”. Veja:
15 + £ = 38
então £ = 38 - 15
Neste caso, £ representa um número desconhecido. Depois de alguns cálculos chegamos a um valor (23) que é verdadeiro. Confira:
15 + 23 = 38
Ficar fazendo desenhos pode ser cansativo, e deixar o visual um pouco incompreensível se forem muitos números desconhecidos. Que coisa podemos colocar no lugar do £? Vamos usar letras! Já conhecemos várias, é fácil desenhá-las e é bem rápido também. No caso, nosso problema seria representado assim:
15 + x = 38
Neste caso, x não é um número. Ele apenas representa, ou seja: está no lugar de um número. Do mesmo modo que o quadradinho, ou qualquer outro símbolo que fosse. Veja que é mais fácil também falar “quinze mais xis é igual a trinta e oito” do que “quinze mais um quadradinho é igual a trinta e oito”.
Poderia ser qualquer outra letra: a, b, c, f, l, k, etc. Por convenção, normalmente usamos letras minúsculas, as últimas do alfabeto na maioria das vezes. Mas isso não é obrigatório, você pode usar as letras que quiser.
Vamos agora mostrar um outro conceito que você deve ter. Usamos o “x” para representar o quanto falta para comprar o presente. Depois, vimos que faltam R$ 23,00. Isso indica que o x, ou o quadradinho, vale 23. Acompanhe:
15 + £ = 38 » que número deve ficar no lugar do £ para que o resultado seja 38?
É o número 23, como vimos. Assim pode-se dizer que:
£ = 23
Com x, escreveríamos:
15 + x = 38
x = 23
Você sabe que a letra “x” é uma “letra”, não um número. Mas aqui, como podemos dizer que x é igual a 23? Entenda que neste caso, x vale 23, porque 23 é o número que deve estar no lugar de x para que a sentença seja verdadeira. O x foi usado apenas como um caractere para representar, ocupar a lacuna de um número desconhecido. Ao usar letras na matemática, normalmente é isso que ocorre. As letras não são números. Pode ocorrer alguns casos de constantes, quando um número é muito importante ou muito usado. Neste caso usa-se uma letra para sempre representar esse número, mas a letra só está ali, ao calcular e na mente termos o número.
Tente descobrir de cabeça, o número que deve ficar no lugar do quadradinho em cada caso:
10 + £ = 20
£ + 3 = 15
50 - £ = 49
7 × £ = 21
No caso de £ + 3 = 15, o quadradinho aparece antes. Mas não tem problema: que número mais 3 dá 15? É o 12, porque 12 + 3 = 15. Então, £ = 12.
Usando letras:
10 + b = 20, então b = 10, porque 10 + 10 = 20
Y + 3 = 15, então y = 12, porque 12 + 3 = 15
50 - z = 49, então z = 1, porque 50 - 1 = 49
O que fizemos foi trocar a letra por um número, calcular e ver se a expressão se mantém verdadeira. Se for (se o resultado coincidir), então o valor da letra é o número encontrado. Por exemplo, em 15 + x = 38, x não pode valer 10, pois 15 + 10 = 25 e não 38. O x também não pode valer 30, já que 15 + 30 = 45, e 45 ≠ 38. O único número que, somado com 15 dá 38, é o 23.
Numa situação prática, não precisamos pegar R$ 23,00. Pode ser R$ 25,00, em duas notas de R$ 10,00 e uma de R$ 5,00, por exemplo. O valor do presenta não muda, seria R$ 38,00, e neste caso sobrariam R$ 2,00 de troco.
Nos exemplos anteriores, veja este caso:
7 × £ = 21
Quer dizer: 7 vezes alguma coisa, dá 21. Que coisa é essa? É o número 3. Veja:
7 × 3 = 21
Usando x:
7 × x = 21
Que confusão! Um × é o sinal de vezes, e o outro x representa o número desconhecido!
Podíamos usar outra letra para evitar essa confusão. Mas os matemáticos (que não deixavam de ser pessoas, como você) resolveram mudar o sinal da multiplicação. Até fica mais prático para escrever: usa-se um ponto, no meio da linha ou embaixo. Agora:
7 ∙ x = 21, então x = 3, porque 7 ∙ 3 = 21
Com outros números, como os negativos ou frações, o raciocínio é o mesmo: se você já trabalha com eles, faz contas com eles, não terá tanta dificuldade. Acompanhe:
6 + y = -10
6 mais um número dá 10. Que número é esse?
Você sabe que 1 + 2 é o mesmo que 2 + 1, na adição isso sempre acontece (lembra-se da propriedade comutativa? A ordem das parcelas não altera a soma). Então:
6 + y = -10 pode ser escrito assim:
y + 6 = -10
Já que tanto faz ser 6 mais um número, ou esse número mais 6. Veja como resolver:
y + 6 = -10 » ali soma-se 6, então retiro 6 do outro lado
y = -10 -6
y = -16
Confira:
6 + y = -10, então y = -16, pois 6 + (-16) = 6 - 16 = -10
Agora tente descobrir o valor das letras, sozinho. Depois, veja se você acertou:
1) 7 ∙ b = 20 | 6) 4 ÷ b = 4 / 369 |
2) 4 + v = -80 | 7) 18 ÷ x = 2 |
3) z + 0 = 15 | 8) 9 ∙ x = 2 |
4) 2,5 + a = 3,5 | 9) 17 ∙ y = 1 |
5) 2,7 + a = 3 | 10) b - 3 = 9 |
Respostas: 1) b = 20/70, ou b ≈2,86. 2) c = -80 - 4 = -84. 3) z = 15. 4) a = 1.
5) a = 0,3. 6) b = 369. 7) x = 9. 8) x = 9. 9) y = 1/17; 10) b=12.
Olhe bem: no exercício 4, a vale 1. No exercício 5, a vale 0,3. Será que 1 = 0,3? Não, claro que não! A letra a não é 1, nem 0,3. Ela apenas representa. O valor atribuído à letra a pode variar indefinidamente, em cada caso é um caso. Da mesma forma como se estivesse aí o quadradinho: é apenas um símbolo que colocamos na lacuna porque não sabemos que número deveria estar ali.
Ao professor:
Trabalhar com operações inversas pode causar confusões. Às vezes fica claro, mas em outras muito complicado para o aluno saber não qual operação executar, mas com quais números. Veja alguns exemplos:
3 ∙ x = 15 » ali eu multiplico por x, então passo para o outro lado dividindo:
3 = 15/x
Não se chegou a lugar nenhum! 3 = 15 ÷ x, mas quanto vale x?
Vamos fazer de novo:
3 ∙ x = 15 » 3 ∙ x é o mesmo que x ∙ 3, a multiplicação é comutativa
x ∙ 3 = 15 » ali multiplico por 3, então passo para o outro lado dividindo:
x = 15 ÷ 3
x = 5
Conferindo: 3 ∙ 5 = 15!
Pronto, x = 5.
Agora veja esta:
8 - y = 80
Não adianta fazer 8 = 80 + y, pois não se sabe quanto vale y. Até que daria, mas nesse momento é bom comentar somente se algum aluno perceber:
8 - y = 80 » 8 = 80 + y » 80 + y = 8 » y + 80 = 8 » y = 8 - 80 = -72
Eles podem tentar fazer se 8 - y = 80, então y - 8 = 80. Atente-os que a subtração não é comutativa, se quiser pode mostrar este exemplo na lousa:
8 - y = 80
y - 8 = 80
y = 80 + 8
y = 88
E confira com eles:
8 - y = 80
8 - 88 = 80
-80 ≠ 80
Errado! -80 não é 80. O erro está numa das transformações, onde trocamos 8 - y por y - 8. Do mesmo modo, mostre que 10 - 3 ≠ 3 - 10.
Porém, se o aluno compreender bem os números inteiros (positivos e negativos), pode até ficar mais fácil se ele entender que 8 - y = 8 + (-y). Veja:
8 - y = 80
8 + (-y) = 80 » agora sim vale a comutativa, pois trata-se de uma adição
(-y) + 8 = 80
-y = 80 - 8
-y = 72
Aqui pode complicar para alguns. Se o oposto de y é 72,então o oposto de 72 é y. E como o oposto de 72 é y, y só pode ser -72!
y = -72
Conferindo:
8 - y = 80
8 - (-72) = 80
8 + 72 = 80 (está certo)
A idéia de passar para o outro lado (para o outro membro) e usar operações inversas, funciona bem, se compreendidas as propriedades das operações. Com isso dá para iniciar o estudo das equações mais simples até mesmo na 5ª série. Mas para as equações do 1º grau propriamente ditas, o melhor é usar a idéia da balança em equilíbrio, mostrando que se pode fazer as mesmas operações nos dois membros da equação (o uso de operações inversas é na verdade esse conceito aplicado de forma subentendida).
É necessário também que o aluno compreenda e aceite com naturalidade o uso de letras, como incógnita ou variável. Isso seria visto nos próximos tópicos, pois este capítulo foi uma introdução, ideal para um primeiro contato. Vê-se que nem a terminologia foi aplicada, equações, incógnitas, etc.
Não adianta apenas expor a teoria:
“Podemos somar ou subtrair qualquer número a ambos os membros, ou multiplicar ou dividir ambos os membros por um mesmo número não nulo”
se o aluno não compreender o que ela significa. Nesse caso a saída ideal é usar a idéia da balança. Os alunos devem aprender por compreensão, não por mera repetição, exceto em algumas situações específicas onde eles não têm ainda maturidade para entender algumas coisas, como a dedução da fórmula da equação do segundo grau, o motivo de existirem números com infinitas casas decimais sem formar período, etc. O que puder, deve ser explicado, ainda mais em assuntos como esse, com o qual o aluno vai lidar (e depender dele) em todos os anos seguintes na escola e no vestibular.
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